Ellipsoid
(b>>a)
次には回転楕円体（Ellipsoid）・回転から．
Howardの本によると，
| Parameter | Direction | Ellipsoid |
|
||
| \(\Large \gamma_r \) | |
\(\Large \frac{ \frac{8}{3} \pi \eta b^3}{ln((2b)/a)-0.5} \) |
| \(\Large \gamma_a \) | |
\(\Large \frac{16}{3} \pi \eta a^2 b \) |
となっています．図示すると，回転はほぼ破綻なく再現できていることがわかります．
グラフは前ページより範囲を狭めていますので（横軸，0～2），ちょっと0.5あたりで上昇しています．
短軸：0.5 ミクロン
粘度：1 mPa.s
・Perrinの論文
Periin，の論文のどこに掲載されているかを調べると，
式6,7，
に回転の式が掲載されていました．
式6
\(\Large C_{1} = \frac{16 \pi}{3} \eta \frac{b^2 + c^2}{b^2Q +c^2R} \)
\(\Large C_{2} = \frac{16 \pi}{3} \eta \frac{c^2 + a^2}{c^2R +a^2P} \)
\(\Large C_{3} = \frac{16 \pi}{3} \eta \frac{a^2 + b^2}{a^2P +b^2Q} \)
\(\Large P = \frac{1}{a^2 - b^2} \left( S - \frac{2}{a} \right) \)
\(\Large Q = \frac{1}{2} \frac{1}{a^2 - b^2} \left( \frac{2a}{b^2} -S \right) \)
式10
\(\Large S = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \ ln \left( \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2}}{b}\right) \)
ここで，断面が円の回転楕円体を考えているので，
b = c, Q = R, C2 = C3
と考えると，
\(\Large C_{1} = \frac{16 \pi}{3} \eta \frac{b^2 + c^2}{b^2Q +c^2R} = \frac{16 \pi}{3} \eta \frac{2b^2 }{2b^2 Q} = \frac{16 \pi}{3} \eta \frac{1 }{ Q} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{16 \pi}{3} \eta \ 2 (a^2 - b^2) \frac{1}{\frac{2a}{b^2} -S} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{32 \pi}{3} \eta \ \frac{(a^2 - b^2) b^2}{2a - b^2 S} \)
\(\Large C_{2} = C_{3} =\frac{16 \pi}{3} \eta \frac{c^2 + a^2}{c^2R +a^2P} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{16 \pi}{3} \eta \frac{b^2 + a^2}{b^2 \frac{1}{2} \frac{1}{a^2 - b^2} \left( \frac{2a}{b^2} -S \right) +a^2 \frac{1}{a^2 - b^2} \left( S - \frac{2}{a} \right)} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{16 \pi}{3} \eta \frac{(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)}{b^2 \frac{1}{2} \left( \frac{2a}{b^2} -S \right) +a^2 \left( S - \frac{2}{a} \right)} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)}{b^2 \left( \frac{2a}{b^2} -S \right) + 2a^2 \left( S - \frac{2}{a} \right)} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)}{2a -b^2 S + 2a^2 S - 4a } \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{a^4 - b^4}{(2a^2 - b^2 )S - 2a} \)
したがって，
\(\Large C_{1} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{(a^2 - b^2) b^2}{2a - b^2 S} \)
\(\Large C_{2} = C_{3} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{a^4 - b^4}{(2a^2 - b^2 )S - 2a} \)
となります．この式を用いて，Howardの式，と比較してみると，
と長軸半径aが，小さくても（短軸半径と同程度），破綻なく再現できていることがわかります．
丸点線，は球の場合の粘性抵抗係数です，長軸，短軸ともにうまく収束していく ことがわかります．
・PerrinとHowardとの比較
では，Howardはどのような近似を行ったのでしょう？
Howardの式は，回転は，
b : 長軸半径
a : 短軸半径
\(\Large C_1 = \frac{16}{3} \pi \eta a^2 b \)
\(\Large C_2 = C_3 = \frac{ \frac{8}{3} \pi \eta b^3}{ln((2b)/a)-0.5} \)
ですが，なぜか長軸と短軸の表記がPerrinとは逆になっています．そこで，Perrinの表記に従うように修正すると，
a : 長軸半径
b : 短軸半径
\(\Large C_{1} = \frac{16 }{3} \pi \eta a b^2 \)
\(\Large C_{2} = C_{3} = \frac{8 \pi}{3} \eta \frac{ a^3}{ln(2a/b) - 0.5} \)
とします．
Perrinの式において，a >> bと近似すると，
\(\Large S = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \ ln \left( \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2}}{b}\right) \simeq \frac{2}{a} \ ln \left( \frac{2a}{b}\right) \)
\(\Large C_{1} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{(a^2 - b^2) b^2}{2a - b^2 S} \)
\(\Large \hspace{20pt} \simeq \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{a^2 b^2}{2a} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{16 \pi}{3} \eta ab^2 \)
と一致することがわかります．
\(\Large C_{2} = C_{3} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{a^4 - b^4}{(2a^2 - b^2) S - 2a} \)
\(\Large \hspace{20pt} \simeq \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{a^4 }{2a^2 \frac{2}{a} \ ln \left( \frac{2a}{b}\right) - 2a} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{a^3 }{4 \ ln \left( \frac{2a}{b}\right) - 2} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{8 \pi}{3} \eta \frac{a^3 }{ ln ( 2a/b) - 0.5} \)
と一致することがわかります．
次は，回転楕円体（Ellipsoid）のPerrinの式をp=a/bに置き換えると，どうなるか，を考えていきましょう
